Решение задач
с помощью линейных уравнений
Решение задач с помощью уравнений состоит из нескольких этапов:
1)Неизвестную величину, значение которой мы хотим определить, обозначаем буквой, например x;
2) Используя переменную и имеющиеся в задаче данные, составляем математическую модель, где два разных выражения равны друг другу.
3) записываем эти выражения через знак равно и получаем уравнение, решение которого поможет найти ответ к задаче.
4) Если необходимо, выполняем дополнительные действия,
для нахождения ответа к задаче.
Задачи на движение. Решение, особенности.
Для успешного решения задач на движение нужно твёрдо держать в голове формулу, в которой связаны путь, время и скорость. В любой задаче дают кучу информации, но эту формулу – никогда! Это должно быть ваше знание, в голове! Знание формулы-ключа и есть главная особенность задач на движение. Без неё - никак.
Чтобы эту формулу-ключ хорошо и осмысленно запомнить, достаточно ответить самому себе на простой вопрос: «Если я еду со скоростью 60 километров в час, какое расстояние я проеду за 2 часа?». Очевидно, умножив 60 на 2, получим 120 километров. Вот вы и запомнили нехитрую формулу скорости, пути, времени:
S=Vt
S - это пройденный путь, или расстояние,
V – скорость движения,
t – время движения.
Это вся посторонняя информация (из физики), которая необходима для решения задач на движение. Всё остальное – в тексте задачи.
Зная эту формулу (для расстояния), вы можете легко вывести из неё формулу для скорости, или времени. Ведь эта формула – тоже уравнение. Стало быть, к ней применимы тождественные преобразования. Если нас интересует не путь, а скорость – поделим обе части формулы на t, получим:
V = S:t
Если интересует время, делим на V:
t = S:V
Как составить уравнение задачи на движение? Это и есть самое интересное/ Cоставление уравнения называется построением математической модели. Разберём конкретный пример классической задачи на движение.
Итак, задача.
«В 10:00 туристы на лодке поплыли из пункта А вниз по течению реки. Проплыв 12 километров, туристы остановились для отдыха на 3 часа. Затем они вернулись в пункт А в 18:00. Определить (в км/час) собственную скорость лодки, если скорость течения реки 1 км/час».
Будем разбирать (и решать!) задачу по шагам.
Шаг первый.
Осмысливаем задачу. Это, понятно, задача на движение. Выясняем, всё ли нам понятно в тексте. Сомнения может вызвать выражение «собственная скорость лодки». Что это такое? После десяти секунд глубоких размышлений соображаем, что по течению лодка плывёт быстро, а против течения – медленно. Ну, если грести одинаково, естественно. Собственная скорость – это скорость лодки сама по себе. Безо всяких течений. Иногда так и пишут: найти скорость лодки в стоячей воде.
Шаг второй.
Нужно что-то взять за икс. Что брать за икс? В простых задачах за икс, чаще всего, можно брать вопрос задачи. Вот чего надо узнать в задаче, вот это и будет иксом! Но это не обязаловка. Иногда вопрос задачи просто неудобно брать за икс. Например, в этой задачке вопрос мог быть поставлен так: «На сколько скорость лодки больше скорости течения реки?». Брать этот вопрос за икс неудобно, куда проще найти скорость лодки, а потом отнять от неё скорость реки. То есть, появится одно дополнительное действие, которое потом надо не забыть сделать!
Но! Если вы не знаете, что брать за икс, берите вопрос задачи! Работайте с этим неизвестным, а если ничего не выходит, уж тогда попробуйте взять что-нибудь другое. С практикой придёт понимание. И вопрос, что брать за икс, будет вам казаться смешным…
Итак, аккуратно записываем:
х – собственная скорость лодки.
Шаг третий.
Расписываем текст задачи в математическом виде. Это и есть составление математической модели! Вот просто читаем задачу, и всё, что можем, всю информацию из задачи записываем формулами с описанием. По порядку, вразброс, как угодно! Начиная с информации, в которой уверены железно. Что-то может и не пригодится для решения, ну и что? Не похудеем, поди… При этом икс считаем вполне известной величиной.
Прочитайте ещё раз текст задачи. Даже толком не разобравшись во всех этих временах и расстояниях, можно железно выцарапать из условия бесспорную математическую информацию:
Если
х – скорость лодки,
то
х+1 – скорость лодки по течению,
х-1 – скорость лодки против течения.
Ну вот, начало положено! Возможно, это и не пригодится, но часть информации мы с задачи скачали!
Опять читаем задачу. Да-да! Читаем опять, причём очень внимательно. Из первого предложения записать ничего нельзя. А вот во втором есть зацепка. Это слова: «Пройдя 12 километров, туристы остановились …». Тут надо вспомнить про ключевую формулу скорости! Путь у нас есть, - это 12 км, скорость лодки по течению есть, - это х+1 км, что можно найти? Правильно, время! Если мы знаем путь и скорость, то мы знаем и время. Вспоминая, что t = S/V, можно записать время лодки по течению. Это будет
Так и пишем:
12/(х+1) – время лодки по течению.
Ну и сразу, до кучи, пишем:
12/(х-1) – время лодки против течения.
Ещё кое-что скачали. Процесс идёт!
Ещё раз обращаю ваше внимание на один интересный момент. Возможно, мы даже не знаем, нужно нам это время по течению, против течения… Но мы упорно и въедливо выкачиваем всювозможную информацию из текста задачи!
Снова читаем задачу. Про лодку мы уже всё как бы знаем. С какой скоростью она плыла туда, обратно, сколько времени затратила. Из условий задачи мы пока никак не использовали информацию по временам. Что ж, займёмся временами. Знаем время выхода лодки и время возвращения. Что можно выяснить из этих данных? Верно! Время всего путешествия!
18 – 10 = 8. Общее время 8 часов. Из чего складывается это время? Время на дорогу туда, это у нас 12/(х+1), стоянка, это у нас 3 часа, и время на дорогу обратно, это у нас 12/(х-1). Вот и всё. Всё, потому что осталось просто записать уравнение.
Шаг четвёртый.
Записываем уравнение:
Вот так составилось уравнение. Оно и будет математической моделью задачи. Осталось его решить, и заслуженные баллы – в кармане.
Одна особенность задач на движение. Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами! Если уж километры – то и все пути, расстояния должны быть в километрах, а не сантиметрах или верстах. Если часы – то везде часы, а не минуты или сутки! Прикиньте, если в этой задаче стоянка будет дана в минутах – 180 минут? Если в уравнение вставить 180 (минут) вместо 3 (часов), всё пойдёт наперекосяк. Надо всё приводить к единым единицам измерений.
И ещё один полезный совет. При решении задач на движение, рисуйте картинки. Особенно, когда текст задачи большой и сразу в голове не укладывается. Чаще всего это нужно делать в задачах, где кто-то кого-то догоняет, встречается, или болтается между пунктами А и В туда и обратно… Рисуем пункты А и В, отмечаем точки встречи, остановок и т.п. На картинке сразу видно, какие отрезки пути можно просчитать. Картинка реально облегчает составление математической модели.
Поделись уроком с друзьями
