Решение задач на проценты
Задачи на последовательное увеличение(уменьшение) числа
В этом уроке рассмотрим решение более сложных задач на проценты. Для решения таких задач необходимо уметь использовать весь ранее изученный материал. Первый тип задач, который мы рассмотрим, задачи на последовательное увеличение (уменьшение) числа на какое-то количество процентов.
Пример 1.
На сколько процентов изменисаль цена товара, если ее сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 25%?
Решение.
Пусть х руб. - первоначальная цена товара. Тогда x+0,2х=1,2х - цена товара после увеличения.
Затем цену уменьшили на 25%, т.е.
1,2х-1,2х·0,25=1,2х-0,3х=0,9х руб. - окончательная цена товара.
Найдем сколько процентов окончательная цена составляет от первоначальной цены (используем формулу процентного отношения двух чисел):
0,9х:х·100%=90% , отсюда следует что цена уменьшилась на 10% (100%-90%=10%)
Ответ: цена товара уменьшилась на 10 %.
Пример 2.
На сколько процентов и как надо изменить цену товара, чтобы получилась первоначальная цена, после того как её увеличили на 15%?
Решение.
Пусть а руб. - первоначальная цена, тогда на 0,15а руб. изменилась цена после увеличения на 15%, т.е. стала равной 1,15а .Составим следующее отношение:
1,15а - 100%
0,15а - х%
х=0,15·100% : 1,15=13,04%
Ответ : Надо уменьшить цену на 13,04%
Задачи на смеси, сплавы, растворы
Пример 1.
Морская вода содержит 4% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 50 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1%?
Решение.
1. Найдем массу соли содержащейся в 50 кг морской воды:
50 · 0,04 = 2 (кг)
2. Найдем количество раствора в котором 2 кг соли будут с
Масса Процент
2 кг 1%
х кг 100%
3. Найдем количество пресной воды:
200 - 50 = 150 (кг)
Ответ: необходимо добавить 150 кг пресной воды.
Пример 2.
Смешали 20%-ный раствор соляной кислоты с 5%-ным и получили 600 г 10%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.
В условии задачи фигурирует три раствора (раствор - смесь, состоящая из частиц растворённого вещества и растворителя). В нашем случае растворенное вещество это кислота, а растворитель - вода.
Пусть было х г 20%-го раствора (1-й раствор), тогда 5%-го раствора(2-й раствор) было (600-х) кг, а 10%-го(3-й раствор) по условию задачи - 600 г. Найдем массу кислоты в каждом из этих растворов.
1-й раствор : 0,2х г
2-й раствор : 0,05(600-х) г
3-й раствор : 60 г
Т.к. масса 3-го раствора равна сумме масс 1-го раствора и 2-го, то можно составитть уравнение
0.2x + 0.05(600 - x) = 60
0.2x + 30 - 0.05x = 60
0.15x +30= 60
0.15x = 30
x = 200 (г)
Тогда масса второго раствора:
600 - 200 = 400(г)
Ответ: смешали 200 г 20% и 400 г 5% растворов соляной кислоты.
Пример 3.
Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 3 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей массы?
Решение.
1. Найдем массу олова в первом сплаве.
3· 0,15=0,45 (кг).
2. Пусть х кг олова надо добавить к первому сплаву, чтобы получить сплав с 25% -м содержанием олова, тогда масса олова в новом сплаве 0,45+х кг, а масса сплава будет равна 3+х кг. 3. Составим пропорцию.
0,45+х кг - 25%
3+х кг - 100%
(0,45+х)· 100=(3+х)· 25
45+100х=75+25х
75х=30
х=0,4 (кг)
Ответ: 0,4 кг олова надо добавить.
Пример 4.
Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация в новом сплаве стала 75%?
Решение.
1. Найдем массу олова в первом сплаве.
10· 0,7=7 (кг)
2. К этому сплаву добавили 8 кг меди, значит масса сплава стала равной 10+8=18 (кг).
3. Теперь найдем сколько олова надо добавит, чтобы его содержание было 75%. Пусть х кг надо добавить к сплаву, тогда масса сплава станет равной 18+х кг, а масса олова в нем 7+х кг
4.Составим пропорцию
7+х - 75%
18+х - 100%
(18+х)·75=(7+х)·100
18·75 +х· 75=7·100+х·100
1350+75х=700+100х
25х=650
х=26 (кг)
Ответ : 26 кг олова надо добавить
Пример 5.
Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.
Решение.
1. Найдем сколько воды содержится в не просушенном зерне.
200·0,25=50 (кг)
2. Масса зерна после сушки 200-30 =170 кг, а масса воды после сушки 50-30=20 кг. Составим пропрцию.
170 кг - 100%
20 кг - х %
х=20·100% : 170=11,8%
Ответ : 11,8% воды
Рассмотрим еще один способ решения задач на смеси. Этот способ не является универсальным, но все равно может быть очень полезен.
Запомните!
1. Масса раствора равна сумме масс воды и соли.
2. Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.
3. Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси
4. Концентрация соли или процентное содержание соли в растворе - это отношение массы соли к массе раствора, записанное в виде процентов
Сложные проценты.
Сложные проценты часто встречаются в экономике и финансах, когда проценты прибыли в конце каждого периода прибавляются к основной сумме и полученная величина в дальнейшем становится исходной для начисления новых процентов. Для вычисления сложных процентов есть следующая формула:
Запомните!
B = A(1 + P:100%)^n
B - будущая стоимость;
A - текущая стоимость;
P - процентная ставка за расчетный период (день, месяц, год, ...);
n - количество расчетных периодов.
^ - степень, например x^2 - это х в квадрате.
Примеры решения задач на вычисление сложных процентов
Пример 1.
Найти прибыль от 50000 рублей положенных на депозит на 3 года под 20% годовых, если в конце каждого года проценты добавлялись к депозитному вкладу.
Решение.
Используем формулу для вычисления сложных процентов:
B = 50000(1 + 20%:100%)^3 = 50000 · 1,728 = 86400
прибыль равна
86400 - 50000 = 36400
Ответ: прибыль 36400 рублей.
Поделись уроком с друзьями
